حل معادله دیفرانسیل با استفاده از روش اویلر (Euler method):

روش اویلر پیشرو (Forward Euler Method):

فرض کنید معادله دیفرانسیلی با شرایط مرزی، به صورت زیر داریم.

برای حل با توجه به تعریف مشتق یک تابع داریم

که با توجه به مقدار اولیه داده شده می‌توان مقادیر مختلف y(x+h) را حساب نمود. این فرمول بندی یک روش صریح تک گامی می‌باشد.

روش اویلر پسرو (Backward Euler Method):

همان طور که از رابطه معلوم است با داشتن مقدار اولیه داده شده می‌توان مقادیر مختلف y(x+h) را حساب کرد؛ باید توجه داشت که رابطه فوق یک معادله غیر خطی بر حسب y(x+h) است که برای حل ان باید صفر تابع زیر را از یکی از روش‌های عددی محاسبه کنیم مثلاً از روش نیوتون

این فرمول بندی یک روش ضمنی تک گامی می‌باشد. 

روش ذوزنقه‌ای (Trapezoidal Method):

این روش ترکیبی از دو روش فوق است و دارای دقتی مضاعف می‌باشد:

این فرمول بندی یک روش ضمنی تک گامی می‌باشد.

روش نقطه میانی (Midpoint Method):

این فرمول بندی یک روش صریح 2-گامی می‌باشد.

به همین روش می‌توان فرمول بندی‌های دیگری را نیز استخراج کرد. می‌توان برای دقت بیشتر از مشتقات مرتبه بالاتر نیز استفاده کرد.

حل معادله دیفرانسیل با استفاده از سری تیلور (Taylors series):

حل معادله دیفرانسیل با استفاده از سری تیلور (Taylors series):

فرض کنید معادله دیفرانسیلی با شرایط مرزی، به صورت زیر داریم:

برای حل جوابی به فرم

در نظر می‌گیریم و هدف ما رسیدن به این جواب است. برای این منظور ابتدا سری تیلوری به فرم زیر در نظر می‌گیریم:

برای x=a داریم:

در این عبارت g(a)=y₀ و g^’(a)=y^’=f(a,y₀) است و برای محاسبه بقیه عبارات باید مشتقات مرتبه بالاتر y را حساب کنیم زیرا

برای رسیدن به این منظور مطابق زیر داریم:

و به همین صورت برای مشتقات مراحل بالاتر نیز عمل می‌کنیم.

مثال:

معادله دیفرانسیل زیر را با روش سری تیلور حل کنید.

با توجه به مطالب گفته شده:

اشکال این روش آن است که باید از تابع داده شده به صورت دقیق مشتق گیری شود و مقادیر جایگزین شود که برای توابع پیچیده امکان پذیر نمی‌باشد.

{درج مطالب فوق با نقل منبع بلامانع است.}